音量單位分貝,定義是聲音的震幅每增加 10 倍,就增加 10 分貝,公式可寫成:

$$ P = 10^{\frac{dB}{10}}P_0 $$

在我們調整音量的時候,不可能每次都調大 10 倍吧?那在中間就會出現指數是小數的情況。例如我們今天若要算

$$ x = 10^{6.3} $$

要怎麼在紙上求得近似值呢?

首先,我們改寫一下式子

$$ x = 10^{0.3} \times 10^6 $$

$$ y = 10^{0.3} $$

$$ x = y \times 10^6 $$

這樣我們就可以先求 y,再回去求 x 了,這麼做是因為對數表上只會有 1 到 10 的值。

根據 log 定義

$$ 0.3 = \log_{10} y $$

透過查表,找到最接近的值是

$$ \log_{10} 2.0 = 0.301 $$

$$ \rightarrow y \approx 2.0 $$

因此 x 的值就會是

$$ x \approx 2 \times 10^6 = 2000000 $$

用 Python 算出的值是 1995262,估計值跟真實值只差了 0.24%,算是足夠精準了,我們就可以利用這個方法,來求指數為實數的近似值。