假設今天我們要算一個 2 的對數，如
$$ x = \log_2 16 $$
$$ \rightarrow 2^x = 16 $$
我們定義
$$ 10^y=2 $$
把第二式帶入第一式
$$ (10^y)^x = 16 $$
$$ 10^{xy} = 16 $$
根據 log 定義，可以得到
$$ xy = \log_{10} 16 $$
$$ x = \frac{\log_{10} 16}{y} $$
又
$$ y = \log_{10} 2 $$
則
$$ x = \frac{\log_{10} 16}{\log_{10} 2} $$
我們就得到了換底公式：
$$ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $$
