對數

音量單位分貝，定義是聲音的震幅每增加 10 倍，就增加 10 分貝，公式可寫成： $$ P = 10^{\frac{dB}{10}}P_0 $$ 在我們調整音量的時候，不可能每次都調大 10 倍吧？那在中間就會出現指數是小數的情況。例如我們今天若要算 $$ x = 10^{6.3} $$ 要怎麼在紙上求得近似值呢？ 首先，我們改寫一下式子 $$ x = 10^{0.3} \times 10^6 $$ $$ y = 10^{0.3} $$ $$ x = y \times 10^6 $$ 這樣我們就可以先求 y，再回去求 x 了，這麼做是因為對數表上只會有 1 到 10 的值。 根據 log 定義 $$ 0.3 = \log_{10} y $$ 透過查表，找到最接近的值是 $$ \log_{10} 2.0 = 0.301 $$ $$ \rightarrow y \approx 2.0 $$ 因此 x 的值就會是...

假設今天我們要算一個 2 的對數，如 $$ x = \log_2 16 $$ $$ \rightarrow 2^x = 16 $$ 我們定義 $$ 10^y=2 $$ 把第二式帶入第一式 $$ (10^y)^x = 16 $$ $$ 10^{xy} = 16 $$ 根據 log 定義，可以得到 $$ xy = \log_{10} 16 $$ $$ x = \frac{\log_{10} 16}{y} $$ 又 $$ y = \log_{10} 2 $$ 則 $$ x = \frac{\log_{10} 16}{\log_{10} 2} $$ 我們就得到了換底公式： $$ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $$